Beschreibung

Gödels Argumentation läuft auf eine Abzählung aller Sätze innerhalb des formalen Systems hinaus, jeder Satz erhält eine eigene Nummer. Er konstruiert dann mit Hilfe einer Diagonalisierung eine Aussage der Form: „Der Satz mit der Nummer x ist nicht ableitbar“ und zeigt, dass es eine Einsetzung für x gibt, so dass x die Nummer dieser Aussage ist. Insgesamt erhält er einen Satz der Form „Ich bin nicht ableitbar“. Es gibt nun zwei Möglichkeiten: Entweder dieser „Satz x“ ist wahr, dann ist er nicht ableitbar (genau das ist sein Inhalt: Ich bin nicht ableitbar!). Oder „Satz x“ ist falsch, dann muss der Satz ableitbar sein. Ein formales System, aus dem ein falscher Satz abgeleitet werden kann, ist aber widersprüchlich. Demnach kann dieser Satz nur wahr sein, wenn das formale System unvollständig ist, oder falsch, wenn das formale System widersprüchlich ist (siehe hierfür auch das klassische Problem des Lügner-Paradox).

Man beachte: Falls das formale System nicht widersprüchlich ist, ist der Satz mit Nummer x und